Archimede

 

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Archimede (in greco Ἀρχιμήδης) nacque a Siracusa intorno al 287 a.C. ed ivi morì nel 212 a.C.

Matematico, astronomo, fisico ed inventore, è unanimamente considerato uno dei massimi scienziati della storia.

Elementi storici

La data di nascita non è certa. Viene di solito accettata quella del 287 a.C., sulla base dell’informazione, riferita dall’erudito bizantino Giovanni Tzetzes vissuto nel  XII secolo, che fosse morto all’età di settantacinque anni. Non si sa però se Tzetzes si basasse su fonti attendibili ora perdute o avesse solo tentato di quantificare il dato.

Della sua infanzia e della sua dolescenza si sa poco, se non le poche notizie che egli stesso ci riferisce in un suo scritto, l’Arenario, arrivato a noi integro.

Nel libro afferma di essere figlio di un astronomo siracusano di nome Fidia, di cui però non si conosce nulla. Nulla ci dice della madre.

Si sa che si recò in Egitto, soprattutto ad Alessandria, allora importantissimo centro culturale sede della famosa Biblioteca. Archimede qui si sarebbe immediatamente distinto rispetto ai sapienti dell’epoca  per la sua capacità di applicare nella pratica le sue conoscenza. Inutile, a suo parere era la conoscenza se questa non poteva essere tecnicamente applicata.

Il suo genio pratico lo portò, già durante il soggiorno in Egitto, su richiesta del Re Tolomeo ad inventare una macchina per aspirare l’acqua, passata alla storia come vite di Archimede, che rese molto più semplice l’irrigazione dei campi nei periodi di siccità. In verità tale sistema non è stato mai abbandonato, e perfino adesso esistono sistemi industriali che sfruttano questo principio (vedi più giù uno schema).

Rientrato a Siracusa, fu ammesso alla reggia di Re Ierone secondo.

Le sue capacità lo resero subito celebre e, soprattutto, fecero si che il re si rivolgesse a lui per risolvere ogni tipo di problema tecnico.

Celebre è l’episodio della scoperta della frode della corona d’oro, in cui l’orafo aveva inserito una buona percentuale di argento per lucrare sul materiale prezioso ricevuto per la fabbricazione; il sistema per scoprire la frode si basò proprio su un principio scoperto da Archimede tramandato come “principio di Archimede”: un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del liquido spostato“.

Altro evento straordinario fu la costruzione della nave Siracosia, immensa per l’epoca, i cui lavori furono diretto da Archimede e che stupì tutti durante il varo. Infatti le immense dimensioni e peso della nave avevano fatto credere a molti che lo spostamento in acqua sarebbe stato impossibile. Un arduo problema per l’epoca che però Archimede risolse brillantemente con un sistema di argani e leve di sua invenzione (altre notizie sulla Siracosia in appresso)

La geometria fu una delle sue maggiori passioni scientifiche. Ad oggi numerose sono le tracce dei suoi studi.

Dalle opere conservate e dalle testimonianze si sa che si occupò di tutte le branche delle scienze matematiche a lui contemporanee (aritmetica, geometria piana e solida, meccanica, ottica, idrostatica, astronomia ecc.) e di varie applicazioni tecnologiche.

Polibio, Tito Livio e Plutarco riferiscono che durante la seconda guerra punica, su richiesta di Gerone II, si dedicò (a detta di Plutarco con minore entusiasmo ma secondo tutti gli autori con non minori successi) alla realizzazione di macchine belliche che potessero aiutare la sua città a difendersi dall’attacco di Roma.

Plutarco racconta che, contro le legioni e la potente flotta di Roma, Siracusa non disponeva che di poche migliaia di uomini e del genio di un vecchio;  le macchine di Archimede avrebbero scagliato massi ciclopici e una tempesta di ferro contro le sessanta imponenti quinquereme di Marco Claudio Marcello.

Nel 212 a.C. fu ucciso durante il sacco della città. Secondo la tradizione l’uccisore sarebbe stato un soldato romano che, non avendolo riconosciuto, avrebbe trasgredito l’ordine di catturarlo vivo.

Due celebri aneddoti

La soluzione di Archimede al celebre problema della corona d’oro

Nell’immaginario collettivo il ricordo di Archimede è indissolubilmente legato a due aneddoti leggendari. Vitruvio racconta che avrebbe iniziato ad occuparsi di idrostatica perché il sovrano Gerone II gli aveva chiesto di determinare se una corona fosse stata realizzata con oro puro oppure utilizzando all’interno altri metalli. Egli avrebbe scoperto come risolvere il problema mentre faceva un bagno, notando che immergendosi nell’acqua provocava un innalzamento del livello del liquido. Questa osservazione l’avrebbe reso così felice che sarebbe uscito nudo dall’acqua esclamando “εὕρηκα” (héureka!, ho trovato!). Se non fossimo a conoscenza del trattato Sui corpi galleggianti non si potrebbe dedurre il livello dell’idrostatica archimedea dal racconto vitruviano.
Vitruvio riferisce che il problema sarebbe stato risolto misurando i volumi della corona e di un eguale peso d’oro immergendoli in un recipiente colmo d’acque e misurando l’acqua traboccata. Si tratta però di un procedimento poco plausibile, sia perché comporta un errore troppo grande sia perché non ha alcuna relazione con l’idrostatica sviluppata da Archimede. Secondo una ricostruzione più attendibile, anche perché attestata nella tarda antichità, Archimede aveva suggerito di pesare la corona e un quantitativo di oro uguale in peso immersi entrambi in acqua. Se la corona fosse stata tutta d’oro la bilancia sarebbe stata in equilibrio. Poiché invece la bilancia si abbassò dalla parte dell’oro, se ne potette dedurre che, essendo pari i pesi, la corona doveva avere subito una maggiore spinta idrostatica verso l’alto e quindi doveva avere un maggiore volume, il che implicava che doveva essere stata fabbricata impiegando anche metalli con densità minore dell’oro (come l’argento).

Secondo un altro aneddoto altrettanto famoso Archimede sarebbe riuscito a spostare da solo una nave (o l’avrebbe fatta spostare dal solo Gerone) grazie a una macchina da lui inventata. Esaltato dalla sua capacità di costruire macchine con cui spostare grandi pesi con piccole forze, in questa o in un’altra occasione avrebbe esclamato: “datemi un punto d’appoggio e solleverò la Terra”. La frase è riportata, con leggere varianti, da vari autori, tra i quali Pappo di Alessandria e Simplicio.

Leggende sulla morte

(GRC)« Ἄφνω δ’ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον, οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν. Ὁ δ’ὀργισθεὶς καῖ σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν » (IT)« Ad un tratto entrò nella stanza un soldato e gli ordinò di andare con lui da Marcello. Archimede rispose che sarebbe andato dopo aver risolto il problema e messa in ordine la dimostrazione. Il soldato si adirò, sguainò la spada e lo uccise. »
(Plutarco, Vita di Marcello, 19, 9)

 

 

La leggenda ha tramandato ai posteri anche le ultime parole di Archimede, rivolte al soldato romano che stava per ucciderlo: «noli, obsecro, istum disturbare» (non rovinare, ti prego, questo disegno). Plutarco, dal canto suo, narra tre differenti versioni della morte di Archimede. Nella prima afferma che un soldato romano avrebbe intimato ad Archimede di seguirlo da Marcello; al suo rifiuto di farlo prima di aver risolto il problema cui si stava applicando, il soldato lo avrebbe ucciso. Nella seconda un soldato romano si sarebbe presentato per uccidere Archimede e quest’ultimo lo avrebbe pregato invano di lasciargli terminare la dimostrazione nella quale era impegnato. Nella terza, dei soldati avrebbero incontrato Archimede mentre portava a Marcello alcuni strumenti scientifici, meridiane, sfere e squadre, in una cassetta; i soldati, pensando che la cassetta contenesse oro, lo avrebbero ucciso per impadronirsene.

Cicerone racconta di avere scoperto egli stesso la tomba di Archimede grazie ad una sfera inscritta in un cilindro, che vi sarebbe stata scolpita in ottemperanza alla volontà dello scienziato.

(Latino)« Archimedis ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis indagavi sepulcrum. Tenebam enim quosdam senariolos, quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui declarabat in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro. Ego autem cum omnia collustrarem oculis – est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum – animum adverti columellam non multum e dumis eminentem, in qua inerat sphaerae figura er cylindri. Atque ego statim Syracusanis – erant autem principes mecum – dixi me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem. Immissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum. Quo cum patefactus esset aditus, ad adversam basim accessimus. Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculovis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine Arpinate didicisset. » (Italiano)« Io questore scoprii la tomba di Archimede, sconosciuta ai Siracusani, cinta con una siepe da ogni lato e vestita da rovi e spineti, sebbene negassero completamente che esistesse. Tenevo, infatti, alcuni piccoli senari, che avevo sentito essere scritti nel suo sepolcro, i quali dichiaravano che alla sommità del sepolcro era posta una sfera con un cilindro. Io, poi, osservando con gl’occhi tutte le cose – c’è, infatti, alle porte Agrigentine una grande abbondanza di sepolcri – volsi l’attenzione ad una colonnetta non molto sporgente in fuori da dei cespugli, sulla quale c’era sopra la figura di una sfera e di un cilindro. E allora dissi subito ai Siracusani – c’erano ora dei principi con me – che io ero testimone di quella stessa cosa che stavo cercando. Mandati dentro con falci, molti ripulirono e aprirono il luogo. Per il quale, dopo che era stato aperto l’accesso, arrivammo alla base posta di fronte. Appariva un epigramma sulle parti posteriori corrose , di brevi righe, quasi dimezzato. Così la nobilissima cittadinanza della Grecia, una volta veramente molto dotta, avrebbe ignorato il monumento del suo unico cittadino acutissimo, se non lo fosse venuto a sapere da un uomo di Arpino. »
(Cicerone)

Archimede ingegnere e inventore

La fama di Archimede nell’antichità fu affidata più ancora che alle sue opere, che pochi erano in grado di leggere, al ricordo dei suoi straordinari ritrovati tecnologici.

Ordigni bellici

Archimede brucia con specchi ustori

Tommaso De Vivo, “Archimede co’ suoi specchi ustori abbrucia le navi romane” – acquaforte – 1833

Archimede deve una parte notevole della sua popolarità al suo contributo alla difesa di Siracusa contro l’assedio romano durante la seconda guerra punica.

Polibio, Tito Livio e Plutarco descrivono macchine belliche di sua invenzione, tra i quali era la manus ferrea, un artiglio meccanico in grado di ribaltare le imbarcazioni nemiche, e armi da getto da lui perfezionate.

Secondo una tradizione che ha avuto grande fortuna, ma che è attestata solo in autori tardi (il primo a parlarne è Galeno), avrebbe usato anche gli specchi ustori, ovvero lamiere metalliche concave che riflettevano la luce solare concentrandola sui nemici e incendiandone le imbarcazioni.

La Siracusia

Moschione, in un’opera di cui Ateneo riporta ampi stralci, descrive una nave immensa voluta dal re Gerone II e costruita da Archia di Corinto con la supervisione di Archimede. L’opera  richiese uno sforzo organizzativo e tecnologico notevolissimo; le cronache dell’epoca narrano che il legname, sufficiente per sessanta navi normali, fu preso dai boschi dell’Etna e che per la costruzione vera e propria fu necessario impiegare trecento tecnici oltre ad una moltitudine non bene precisata di schiavi e operai comuni.

Lo scafo fu rivestito internamente di lastre di piombo, con il duplice scopo di renderlo impermeabile all’acqua e resistente agli speronamenti. Conclusa la costruzione dello scafo, la nave venne varata per permettere il completamento degli interni. E qui le cronache danno conto del genio di Archimede. L’imponenza ed il peso della nave era tale che molti ne credettero impossibile il varo in acqua. Archimede però, con un ingegnoso sistema di leve ed argani e con uno sforzo minimo varò facilmente la nave, destando non poco stupore tra gli spettatori. Una volta in acqua si diede inizio alle operazioni di completamento. Si provvide quindi al sistema di propulsione: venti file di vogatori contro i tre usualmente necessari e tre alberi per sorreggere le immense vele. Si narra che all’interno furono ricavate 45 stanze per i marinai ed i passeggeri con pavimenti in mosaico di pietre colorate che rappresentavano episodi della guerra di Troia. A completamento furono ricavate anche una palestra ed una biblioteca all’interno del quale vi era una orologio solare progettato da Archimede. Erano presenti anche grandi serbatoi per l’acqua potabile, un sistema di riscaldamento dell’acqua ed una acquario per l’allevamento di pesce. Non mancava un locale adibito a prigione. L ‘imbarcazione, che era la più imponente dell’antichità, fu chiamata Siracosia. Il nome fu poi cambiato in quello di Alessandria quando fu inviata in regalo al re Tolomeo III d’Egitto assieme ad un carico di grano in occasione di una grande carestia. La nave fu poi reinviata da Tolomeo a Siracusa con un prezioso carico di carta papiro.

L’orologio ad acqua

Un manoscritto arabo contiene la descrizione di un orologio ad acqua particolarmente ingegnoso progettato da Archimede. Nell’orologio il flusso dell’acqua uscente era reso costante grazie all’introduzione di una valvola galleggiante. L’orologio era costituito da due vasche, una sopraelevata rispetto all’altra. La più alta era dotata di un rubinetto, che erogava un flusso costante di acqua nella vasca inferiore. Sopra la vasca inferiore era posta un’asse girevole alla quale era arrotolato un filo, alle cui estremità erano a loro volta legate una piccola pietra e un galleggiante. All’inizio della giornata la vasca inferiore doveva essere vuota e il filo veniva tirato giù affinché il galleggiante toccasse il fondo e la pietra salisse in cima. Aprendo il rubinetto la vasca inferiore cominciava a riempirsi sollevando il galleggiante e facendo di conseguenza abbassare la pietra. La lunghezza del filo e il flusso dell’acqua erano calibrati in modo che quando il galleggiante si trovava alla stessa altezza della pietra erano le 12 e quando la pietra arrivava al fondo erano le sei del pomeriggio. Archimede dovette inoltre ovviare al problema di mantenere costante il flusso del rubinetto in quanto, svuotandosi la vasca superiore, si riduceva la pressione dell’acqua, facendo così diminuire il flusso. Per questo motivo fu aggiunta una terza vasca posta ancora più in alto che, tramite un galleggiante riempiva la seconda per mantenerne costante il livello e dunque la pressione con cui l’acqua fuoriusciva dal rubinetto.

Un merito che oggi viene riconosciuto ad Archimede è anche quello di essere stato il primo ad interpretare il tempo come una grandezza fisica analizzabile con gli stessi strumenti matematici usati per le grandezze geometriche (ad esempio nel trattato Sulle spirali rappresenta intervalli di tempo con segmenti e applica loro la teoria delle proporzioni di Euclide).

Invenzioni meccaniche

Il principio del sollevamento della vite di Archimede

Ateneo, Plutarco e Proclo raccontano che Archimede aveva progettato una macchina con la quale un solo uomo poteva far muovere una nave completa di equipaggio e carico. In Ateneo l’episodio è riferito al varo della Siracusia, mentre Plutarco ne parla come di un esperimento dimostrativo, eseguito per mostrare al sovrano le possibilità offerte dalla meccanica. Questi racconti contengono indubbiamente dell’esagerazione, ma il fatto che Archimede avesse realmente sviluppato la teoria meccanica che permetteva la costruzione di macchine con elevato vantaggio meccanico assicura che fossero nati da una base reale.

Secondo le testimonianze di Ateneo e Diodoro Siculo egli aveva anche inventato quel meccanismo per il pompaggio dell’acqua, impiegato per l’irrigazione dei campi coltivati, ancora noto come vite di Archimede.

« Non mi pare che in questo luogo sia da passar con silenzio l’invenzione di Archimede d’alzar l’acqua con la vite: la quale non solo è maravigliosa, ma è miracolosa; poiché troveremo, che l’acqua ascende nella vite discendendo continuamente »
(Galileo Galilei, Mecaniche)

Lo storico della tecnologia Andre W. Sleeswyk ha attribuito ad Archimede anche l’odometro descritto da Vitruvio.

Il planetario

Una delle realizzazioni tecniche di Archimede più ammirata nell’antichità fu il suo planetario. Le migliori informazioni su quest’oggetto sono fornite da Cicerone, il quale scrive che nell’anno 212 a.C., quando Siracusa fu saccheggiata dalle truppe romane, il console Marco Claudio Marcello portò a Roma un apparecchio costruito da Archimede che riproduceva la volta del cielo su una sfera e un altro che prediceva il moto apparente del sole, della luna e dei pianeti, equivalente quindi a un moderno planetario. Cicerone, riferendo le impressioni di Gaio Sulpicio Gallo che aveva potuto osservare lo straordinario oggetto, sottolinea come il genio di Archimede fosse riuscito a generare i moti dei pianeti, tra loro tanto diversi, a partire da un’unica rotazione. È noto grazie a Puppa che Archimede aveva descritto la costruzione del planetario nell’opera perduta Sulla Costruzione delle Sfere. La scoperta della macchina di Anticitera, un dispositivo a ingranaggi che secondo alcune ricerche risale alla seconda metà del II secolo a.C., dimostrando quanto fossero elaborati gli antichi meccanismi costruiti per rappresentare il moto degli astri, ha riacceso l’interesse sul planetario di Archimede. Un ingranaggio probabilmente identificabile come appartenuto al planetario di Archimede è stato rinvenuto nel luglio del 2006 a Olbia; gli studi sul reperto sono stati presentati al pubblico nel dicembre del 2008. Secondo una ricostruzione il planetario, che sarebbe stato tramandato ai discendenti del conquistatore di Siracusa, potrebbe essere andato perso nel sottosuolo cittadino di Olbia (probabile scalo del viaggio) prima del naufragio della nave che trasportava Marco Claudio Marcello (console 166 a.C.) in Numidia.

(Latino)« Nam cum Archimedes lunae solis quinque errantium motus in sphaeram inligavit, effecit idem quod ille, qui in Timaeo mundum aedificavit, Platonis deus, ut tarditate et celeritate dissimillimos motus una regeret conversio. quod si in hoc mundo fieri sine deo non potest, ne in sphaera quidem eosdem motus Archimedes sine divino ingenio potuisset imitari. » (Italiano)« In realtà, quando Archimede racchiuse in una sfera i movimenti della luna, del sole e dei cinque pianeti, fece lo stesso che colui che nel Timeo edificò l’universo, il dio di Platone, e cioè che un’ unica rivoluzione regolasse movimenti molto diversi per lentezza e velocità. E se questo non può avvenire nel nostro universo senza la divinità, neanche nella sfera Archimede avrebbe potuto imitare i medesimi movimenti senza un’intelligenza divina. »
(Cicerone, Tusculanae disputationes I, 63)

Misura del diametro della pupilla

Nell’intento di misurare la dimensione apparente del sole, utilizzò un regolo graduato. Ma accortosi della misura poco precisa, provò a misurare il diametro della pupilla dell’occhio umano. Sempre con l’utilizzo del regolo ottenne il diametro medio, ottenendo una stima del diametro del sole migliore.

Archimede scienziato

I risultati scientifici di Archimede possono essere esposti descrivendo prima il contenuto delle opere conservate e poi le testimonianze sui lavori perduti.

Opere conservate

La misura del cerchio

Metodo di quadratura del cerchio

Nel breve lavoro La misura del cerchio viene dimostrato anzitutto che un cerchio è equivalente a un triangolo con base eguale alla circonferenza e altezza eguale al raggio. Tale risultato è ottenuto approssimando arbitrariamente il cerchio, dall’interno e dall’esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti. Con lo stesso procedimento Archimede espone un metodo con il quale può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, rapporto che oggi si indica con π. Le stime esplicitamente ottenute limitano questo valore fra 22/7 (circa 3.1429) e 223/71 (circa 3.1408).

Quadratura della parabola

Procedimento per determinare il massimo triangolo inscritto

Nell’opera Quadratura della parabola è calcolata l’area di un segmento di parabola, ossia la figura delimitata da una parabola e una linea secante, non necessariamente ortogonale all’asse della parabola, trovando che vale i 4/3 dell’area del massimo triangolo in esso inscritto. Si dimostra che il massimo triangolo inscritto può essere ottenuto mediante un determinato procedimento. Il segmento della secante compreso tra i due punti di intersezione è detto base del segmento di parabola. Si considerano le rette parallele all’asse della parabola passanti per gli estremi della base. Viene poi tracciata una terza retta parallela alle prime due e da loro equidistante. L’intersezione di quest’ultima retta con la parabola determina il terzo vertice del triangolo. Sottraendo al segmento di parabola il massimo triangolo inscritto si ottengono due nuovi segmenti di parabola, nei quali si possono inscrivere due nuovi triangoli. Iterando il procedimento si riempie il segmento di parabola con infiniti triangoli. L’area richiesta è ottenuta calcolando l’area di tutti i triangoli e sommando gli infiniti termini ottenuti. Il passo finale si riduce alla somma della serie geometrica di ragione 1/4:

 \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; .

È questo il primo esempio conosciuto di somma di una serie. All’inizio dell’opera è introdotto quello che è ancora oggi chiamato assioma di Archimede.

Sull’equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani

Sull’equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, opera in due volumi, è il primo trattato di statica a noi pervenuto. Archimede vi enuncia un insieme di postulati su cui basa la nuova scienza e dimostra la legge della leva. I postulati definiscono anche, implicitamente, il concetto di baricentro, la cui posizione viene determinata nel caso di diverse figure geometriche piane.

Sulle spirali

Ne Sulle spirali, che è tra le sue opere principali, Archimede definisce con un metodo cinematico ciò che oggi è chiamata spirale di Archimede ed ottiene due risultati di grande importanza. In primo luogo calcola l’area del primo giro della spirale, con un metodo che anticipa l’integrazione di Riemann. Riesce poi a calcolare in ogni punto della curva la direzione della tangente, anticipando metodi che saranno impiegati nella geometria differenziale.

Della sfera e del cilindro

I principali risultati de Della sfera e del cilindro, opera in due libri, sono la dimostrazione che la superficie della sfera è quadrupla del suo cerchio massimo e che il suo volume è i due terzi di quello del cilindro circoscritto. Secondo una tradizione trasmessa da Plutarco e Cicerone Archimede era così fiero di quest’ultimo risultato che volle che fosse riprodotto come epitaffio sulla sua tomba.

Sui conoidi e sferoidi

Con Sui conoidi e sferoidi Archimede definisce ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi di rotazione, ne considera segmenti ottenuti tagliando tali figure con piani e ne calcola i volumi.

Sui corpi galleggianti

Il principio di Archimede sul galleggiamento dei corpi

Sui corpi galleggianti è una delle principali opere di Archimede, nella quale viene fondata la scienza dell’idrostatica. Nel primo dei due volumi dell’opera si enuncia un postulato dal quale viene dedotto come teorema quello che oggi è impropriamente chiamato il principio di Archimede. Oltre a calcolare le posizioni di equilibrio statico dei galleggianti, si dimostra che l’acqua degli oceani, in condizioni di equilibrio, assume una forma sferica. Sin dall’epoca di Parmenide gli astronomi greci sapevano che la Terra fosse sferica, ma qui, per la prima volta, questa forma viene dedotta da principi fisici.

Il secondo libro studia la stabilità dell’equilibrio di segmenti di paraboloide galleggianti. Il problema era stato certamente scelto per l’interesse delle sue applicazioni alla tecnologia navale, ma la sua soluzione ha anche un grande interesse matematico. Archimede studia la stabilità al variare di due parametri, un parametro di forma e la densità, e determina valori di soglia di entrambi i parametri che separano le configurazioni stabili da quelli instabili. Per E.J. Dijksterhuis si tratta di risultati “decisamente al di là del confine della matematica classica”.

Arenario

« Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero dei granelli di sabbia sia infinito in quantità: non intendo soltanto la sabbia che si trova nei dintorni di Siracusa e del resto della Sicilia, ma anche quella che si trova in ogni altra regione, abitata o deserta. Altri ritengono che questo numero non sia infinito, ma che non possa esistere un numero esprimibile e che superi questa quantità di sabbia. »
(Incipit de L’Arenario)

In Arenario, dedicato a Gelone II, Archimede si propone di quantificare il numero di granelli di sabbia che potrebbero riempire la sfera delle stelle fisse. Il problema nasceva dal sistema greco di numerazione, che non permetteva di esprimere numeri così grandi. L’opera, pur essendo la più semplice dal punto di vista delle tecniche matematiche tra quelle di Archimede, ha vari motivi di interesse. Innanzitutto vi si introduce un nuovo sistema numerico, che virtualmente permette di quantificare numeri comunque grandi. Il più grande numero nominato esplicitamente è quello che oggi si scrive 108•1016. Il contesto astronomico giustifica poi due importanti digressioni. La prima riferisce la teoria eliocentrica di Aristarco ed è la principale fonte sull’argomento. La seconda descrive un’accurata misura della grandezza apparente del Sole, fornendo una rara illustrazione dell’antico metodo sperimentale.

Il metodo

Nel lavoro Il metodo, perduto almeno dal Medioevo, fu letto per la prima volta nel famoso palinsesto trovato da Heiberg nel 1906, poi perduto e ritrovato nel 1998. Esso consente di penetrare nei procedimenti usati da Archimede nelle sue ricerche. Rivolgendosi ad Eratostene, spiega di usare due diversi metodi nel suo lavoro. Una volta individuato il risultato voluto, per dimostrarlo formalmente usava quello che poi fu chiamato metodo di esaustione, del quale si hanno molti esempi in altre sue opere. Tale metodo non forniva però una chiave per individuare i risultati. A tale scopo Archimede si serviva di un “metodo meccanico”, basato sulla sua statica e sull’idea di dividere le figure in un numero infinito di parti infinitesime. Archimede considerava questo secondo metodo non rigoroso ma, a vantaggio degli altri matematici, fornisce esempi del suo valore euristico nel trovare aree e volumi; ad esempio, il metodo meccanico è usato per individuare l’area di un segmento di parabola.

Frammenti e testimonianze su opere perdute

Stomachion

Lo Stomachion è un puzzle greco simile al Tangram, a cui Archimede dedicò un’opera perduta di cui restano due frammenti, uno in traduzione araba e l’altro contenuto nel palinsesto di Archimede. Recenti analisi hanno permesso di leggerne nuove porzioni, che chiariscono che Archimede si proponeva di determinare in quanti modi le figure componenti potevano essere assemblate nella forma di un quadrato.  È un difficile problema nel quale gli aspetti combinatori si intrecciano con quelli geometrici.

Il problema dei buoi

Il problema dei buoi è costituito da due manoscritti che presentano un epigramma nel quale Archimede sfida i matematici alessandrini a calcolare il numero di buoi e vacche degli Armenti del Sole risolvendo un sistema di otto equazioni lineari con due condizioni quadratiche. Si tratta di un problema diofanteo espresso in termini semplici, ma la sua soluzione più piccola è costituita da numeri con 206.545 cifre.

Libro dei lemmi

Il Libro dei lemmi è pervenuto solo attraverso un testo arabo certamente corrotto. Esso contiene una serie di lemmi geometrici il cui interesse è menomato dall’ignoranza odierna del contesto in cui erano usati.

Catottrica

Archimede aveva scritto una Catottrica, ovvero un trattato sulla riflessione della luce, sulla quale si hanno solo informazioni indirette. Apuleio sostiene che si trattava di un’opera voluminosa che trattava, tra l’altro, dell’ingrandimento ottenuto con specchi curvi, di specchi ustori e del fenomeno dell’arcobaleno. Secondo Olimpiodoro il Giovane vi era studiato anche il fenomeno della rifrazione.Uno scolio alla Catottrica pseudo-euclidea attribuisce ad Archimede la deduzione delle leggi della riflessione dal principio di reversibilità del cammino ottico; è logico pensare che anche questo risultato fosse in quest’opera.

Poliedri semiregolari

In un’opera perduta sulla quale fornisce informazioni Pappo, Archimede aveva descritto la costruzione di tredici poliedri semiregolari che ancora sono detti poliedri archimedei (nella terminologia moderna i poliedri archimedei sono quindici poiché vi si includono anche due poliedri che Archimede non aveva considerato, quelli chiamati impropriamente prisma archimedeo e antiprisma archimedeo).

Formula di Erone

La formula di Erone, che esprime l’area di un triangolo in funzione dei lati, è così chiamata perché è contenuta nei Metrica di Erone di Alessandria, ma secondo la testimonianza di al-Biruni il suo vero autore sarebbe Archimede, che l’avrebbe esposta in un’altra opera perduta. La dimostrazione trasmessa da Erone è particolarmente interessante perché un quadrato vi viene elevato al quadrato, un procedimento almeno strano nella matematica greca, in quanto l’ente ottenuto non è rappresentabile nello spazio tridimensionale.

Il Libro di Archimede

Thābit ibn Qurra presenta come Libro di Archimede un testo in lingua araba che è stato tradotto da J. Tropfke.[43] Tra i teoremi contenuti in quest’opera appare la costruzione di un ettagono regolare, un problema non risolubile con riga e compasso.

Altre opere

Un passo di Ipparco trasmesso da Tolomeo in cui si citano determinazioni dei solstizi compiute da Archimede fa pensare che egli avesse scritto anche opere di astronomia. Pappo, Erone e Simplicio gli attribuiscono vari trattati di meccanica e diversi titoli di opere di geometria sono trasmessi da autori arabi.

Il ruolo di Archimede nella storia della scienza

L’opera di Archimede rappresenta certamente il culmine della scienza antica. In essa, la capacità di individuare insiemi di postulati utili a fondare nuove teorie si coniuga con la potenza e originalità degli strumenti matematici introdotti, l’interesse per questioni che oggi si definirebbero “fondazionali” con attenzione agli aspetti applicativi. Archimede, più che essere matematico, fisico e ingegnere, è stato il massimo esponente di una scienza che ignorava le divisioni che l’odierna terminologia spinge a considerare inevitabili.

Archimede, almeno a giudicare dalle opere rimaste, non ebbe nell’antichità eredi a lui confrontabili. La crisi che colpì la scienza rese poco comprensibili le sue opere che, non a caso, anche quando si sono conservate sono state trasmesse da una tradizione manoscritta estremamente esile. Per quello che riguarda la matematica e l’assoluto disinteresse che ha mostrato la cultura romana per tale disciplina, il Boyer afferma in modo più che pungente che la scoperta della tomba di Archimede da parte di Cicerone è stato il maggior contributo dato dal mondo romano alla matematica, e forse l’unico.

Lo studio delle opere di Archimede, che impegnò a lungo gli studiosi della prima età moderna (ad esempio Francesco Maurolico, Simone Stevino, Galileo Galilei) costituì un importante stimolo alla rinascita scientifica moderna. L’influenza di Archimede negli ultimi secoli (ad esempio sullo sviluppo di un’analisi matematica rigorosa) è oggetto di valutazioni discordi da parte degli studiosi.

Fonti:

Archimede nelle vicende storiche del suo tempo“; Francesco Purpura; Trinakria Editrice – 2002

Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede

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